2008-2009学年浙江省温州二中高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若非空集合A、B、U满足A∪B=U，A∩B=Φ，则称（A，B）为U的一个分割，则集合U={1，2，3}的不同分割有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个

2. 难度：中等

已知正态分布函数，则（ ）
A．f（x）在R上单调递减
B．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
C．f（1-x）-f（x）=0
D．f（2-x）+f（x）=0

3. 难度：中等

下列命题中，条件M是条件N的充要条件的为（ ）
A．M：a＞b，N：ac²＞bc²
B．M：a＞b，c＞d，N：a-d＞b-c
C．M：a＞b＞0，c＞d＞0，N：ac＞bd
D．M：|a-b|=|a|+|b|，N：ab≤0

4. 难度：中等

若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

5. 难度：中等

已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

6. 难度：中等

给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值一输出的y的值相等，则x的可能值的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

设椭圆的离心率为e，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个实数根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）（ ）
A．必在圆x²+y²=1内
B．必在圆x²+y²=1上
C．必在圆x²+y²=1外
D．与x²+y²=1的关系与e有关

8. 难度：中等

已知复数Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ（其中i为虚数单位），以下判断中正确的为（ ）
A．不存在n∈N^*，使Z为纯虚数
B．对任意的n∈N^*，Z为实数
C．存在无限个n∈N^*，使Z为实数
D．不存在n∈N^*，使Z为实数

9. 难度：中等

已知，点C在直线OA上的射影为点D，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，给出下列判断：①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；④若9个数之和等于9，则a₂₂≥1．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

11. 难度：中等

已知数列，请判断命题P：∀n∈N^*，a_n∉N的真假    ．

12. 难度：中等

△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，CcosB=bcosC，且，则sinB=    ．

13. 难度：中等

已知正三棱锥P-ABC的四个顶点在体积等于36π的球O的表面上．若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心O到平面ABC的距离等于    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+x，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为     ．

15. 难度：中等

在集合{x∈N^*|x≤10}中取三个不同的数a、b、c，则满足12≤a+b+c≤30的等差数列a、b、c，有    个．

16. 难度：中等

B地在A地的正东方向4千米处，C地在B地的北偏东45°的千米处．有一直线型的马路l过C地且与线段BC垂直，现欲在马路l上造一个车站P．造一公里马路的费用为5万元，则修筑两条马路PA、PB的最低费用为    万元．

17. 难度：中等

已知集合，N={（x，y）|（x-a）²+（y-a）²≤（4-a）²}，若N⊆M，则a的取值范围为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1的图象关于直线对称．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）把函数y=f（x）的图象按向量平移后与函数-1的图象重合，求：的坐标．

19. 难度：中等

已知盒子A中有m个红球与10-m个白球，盒子B中有10-m个红球与m个白球（两个盒子中的球形状、大小都相同）．
（Ⅰ）分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数．
（ⅰ）请写出随机变量ξ的分布规律，并证明Eξ等于定值；
（ⅱ）当Dξ取到最小值时，求m的值．
（Ⅱ）在盒子A中不放回地摸取3个球．事件A：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球．事件B：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，若P（A）=P（B），求m的值．

20. 难度：中等

如图组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为+1，+1，1．
（Ⅰ）求直线CA₁与平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）在线段AC₁上是否存在点P，使B₁P⊥平面ACD．若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知点F（1，0），直线l：x=-1，动点P到点F的距离等于点P到直线l的距离，动直线PO与直线l交于动点N，过N且平行于x轴的直线与动直线PF交于动点Q．
（Ⅰ）求证：动点P、Q在同一条曲线C上运动；
（Ⅱ）曲线C在点P处的切线与直线l交于点R，M为线段PQ的中点．
（1）求证：直线RM∥x轴；
（2）若直线RM平分∠PRF，求直线PQ的方程．

22. 难度：中等

已知函数（其中a为常数，e为自然对数的底数）．
（1）任取两个不等的正数x₁、x₂，恒成立，求：a的取值范围；
（2）当a＞0时，求证：f（x）=0没有实数解．

23. 难度：中等

（附加题）已知圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使，平面上点G满足，求点G的轨迹方程．

24. 难度：中等

（附加题）是否存在常数c，使得不等式
对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．