Question

已知函数（其中a为常数，e为自然对数的底数）．
（1）任取两个不等的正数x₁、x₂，恒成立，求：a的取值范围；
（2）当a＞0时，求证：f（x）=0没有实数解．

Answer

（1）先求f'（x）=，再由：“”得出“f（x）在（0，+∞）上为单调减函数”转化为“f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立”，最后转化为最值法求解．
（2）令g（x）=ax+（x＞0），h（x）=（x＞0），当a＞0时，f（x）＞，h′（x）=，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，从而得出h（x）最大值，最终得到即ax2+-lnx＞0恒成立从而f（x）=0无解．
【解析】
，
，
∴，
∵，
∴．
（2）令g（x）=ax+（x＞0），h（x）=（x＞0），当a＞0时，f（x）＞，h′（x）=，令h′（x）＞0，则x∈（0，e），
故h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，
∴h（x）最大值为：h（e）=，
∴x＞0时，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+＞，
即ax2+-lnx＞0恒成立，
∴f（x）=0无解．