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已知复数Z=iCn1+i2Cn2+…+inCnn(其中i为虚数单位),以下判断中...

已知复数Z=iCn1+i2Cn2+…+inCnn(其中i为虚数单位),以下判断中正确的为( )
A.不存在n∈N*,使Z为纯虚数
B.对任意的n∈N*,Z为实数
C.存在无限个n∈N*,使Z为实数
D.不存在n∈N*,使Z为实数
利用二项式定理得到Z=iCn1+i2Cn2+…+inCnn=(1+i)n-1,因为当n=4k(k∈Z)时,(1+i)n-1=(1+i)4k-1得到存在无限个n∈N*,使Z为实数. 【解析】 Z=iCn1+i2Cn2+…+inCnn=(1+i)n-1, 因为当n=4k(k∈Z)时,(1+i)n-1=(1+i)4k-1=(-4)k-1∈R 所以当n=4k(k∈Z)时,复数Z=iCn1+i2Cn2+…+inCnn(其中i为虚数单位)为实数, 故选C.
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