2009-2010学年重庆市万州二中高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

过不共面的4个点中的3个点的平面，共有（ ）
A．0个
B．3个
C．4个
D．无数个

2. 难度：中等

在（1-2x）¹⁰的展开式中，各项系数的和是（ ）
A．1
B．1024
C．-1
D．0

3. 难度：中等

直线a与平面∂没有公共点是直线a∥面∂的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，不正确的解法是（ ）
A．A₅⁴-A₄³
B．A₅⁴-A₄⁴
C．A₄¹×A₄³
D．A₄⁴+3A₄³

5. 难度：中等

在（x+2）ⁿ的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44（按x的降幂排列），则n的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

6. 难度：中等

一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π
B．4π
C．
D．6π

7. 难度：中等

三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，Q为底面上一点，Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则PQ的长度为（ ）
A．5
B．
C．
D．6

8. 难度：中等

把大小相同的3个红球，4个白球，2个黄球排成一排，则不同的排法种数有（ ）
A．630
B．1260
C．60
D．288

9. 难度：中等

已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒m⊥n；
②α⊥β⇒m∥n；
③m∥n⇒α⊥β；
则真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

（理科）设四面体的四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，其中它们的最大值为S，则的取值范围是（ ）
A．（1，4]
B．（2，4]
C．（3，4]
D．（3，5]

11. 难度：中等

（文科）若正四棱锥的各条棱长都相等，则到它的五个顶点距离相等的平面有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．5个

二、填空题

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

设地球的半径为R，若甲地位于北纬35°东经110°，乙地位于南纬85°东经110°，则甲、乙两地的球面距离为    ．

14. 难度：中等

4位男生与4位女生排成一排，则4位女生不相邻的排法数为    （用数字作答）

15. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，则直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为    ．

16. 难度：中等

（理科）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为    ．

17. 难度：中等

（文科）异面直线a、b所成的角为60°，则过空间任意一点可作    条直线与a、b都成60°．

三、解答题

18. 难度：中等

已知正四面体ABCD的棱长为a．
（1）求证：AC⊥BD
（2）求AC与BD的距离．
（3）求它的内切球的半径．

19. 难度：中等

用数字1、2、3、4、5、6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列．
（1）求这个数列的项数．
（2）求这个数列中的第89项的值．

20. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长2的正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是面积为的菱形，∠ADC为锐角．
（1）求证：PA⊥CD
（2）求二面角P-AB-D的大小．

21. 难度：中等

若（x²-3x+2）⁵=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰
（1）求a₂
（2）求a₁+a₂+…+a₁₀
（3）求（a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）²．

22. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B₁到平面A₁BD的距离．

23. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形p₁p₂p₃A，如图．
（1）求证：PB⊥AC
（2）求PB与面ABC所成角的大小．
（3）（只理科做）求三棱锥P-ABC外接球的面积．