Question

三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形p₁p₂p₃A，如图．
（1）求证：PB⊥AC
（2）求PB与面ABC所成角的大小．
（3）（只理科做）求三棱锥P-ABC外接球的面积．

Answer

（1）先证明BP⊥平面PAC，观察展开图发现P1B⊥P1A，P2B⊥P2C，故BP⊥PC，BP⊥PA；再证明PB⊥AC，利用线面垂直的定义即可
（2）先求三棱锥的棱长AP，AC，PC，利用展开图，再作出线面角的平面角，即作PO⊥平面ABC，连接BO交AC于D，连接PD，则∠PBO为PB与面ABC所成角，最后在△PAC中计算∠PBO即可
（3）先计算△PAC的外接圆直径，利用平面几何知识即可，再证明BM为球的直径，设△PAC的外接圆圆心为Q，球心为O．连接PQ并延长交球面于M，连BM，OQ，因为BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，所以BP∥OQ，从而平面BPM是球的一个大圆，BM为球的直径，最后在△BPM中计算球的直径BM的长，进而求球的表面积
【解析】
（1）证明：由展开图知：P1B⊥P1A，P2B⊥P2C
∴BP⊥PC，BP⊥PA，∴BP⊥平面PAC
∵AC⊂平面PAC，∴PB⊥AC
（2）设PA=AC=AP3=x，P3C=y
作AE⊥CP3，则E为CP3的中点
∴x2-=16，且x=y+，解得 x=3，y=2
即PA=AC=3，PC=2
作PO⊥平面ABC，连接BO交AC于D，连接PD
∴∠PBO为PB与面ABC所成角
∵BP⊥平面PAC，易证AC⊥BD，AC⊥PD
在△PAC中，
×2×4=×3×PD
∴PD=
∴tan∠PBO==，
∴∠PBO=arctan
（3）设△PAC的外接圆圆心为Q，球心为O．连接PQ并延长交球面于M，连BM，OQ
∵BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，∴BP∥OQ
∴平面BPM是球的一个大圆
在△BPM中，BP=2，PM=
∴BM==，∴球半径R=
∴球的表面积S=4πR2=