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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱CC1...

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱CC1的中点,AE交A1D于点H.
(1)求证:AE⊥平面A1BD;
(2)求二面角D-BA1-A的大小(用反三角函数表示)
(3)求点B1到平面A1BD的距离.

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(1)建立空间直角坐标系,利用得到AE⊥A1D,AE⊥BD,从而证得AE⊥平面A1BD. (2)先求出面DA1B的法向量,面BA1A的法向量,再利用两法向量夹角与二面角的平面角相等或互补的关系求解即可. (3)点B1到平面A1BD的距离等于在面A1BD的法向量方向上投影的绝对值. 【解析】 (1)证明:以DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),C(-1,0,0) E (-1,-1,0)A1 (1,-2,0)C1 (-1,-2,0)B (0,0,)         =(-2,-1,0)=(-1,2,0)=(0.0,-)       ∵=2-2+0=0 ∵=0,∴∴ 即AE⊥A1D,AE⊥BD,又A1D∩BD=D ∴AE⊥面A1BD (2)设面DA1B的法向量为=(x1,y1,z1)由 得取=(2,1,0) 设面BA1A的法向量为, 同理由 解得=(3.0,), cos<>=. 由图可知二面角D-BA1-A为锐二面角,所以它的大小为arccos. (3)=(0,2,0)平面A1BD的法向量取=(2,1,0) 则点B1到平面A1BD的距离d=.
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考点分析:
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试题属性
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