(1)建立空间直角坐标系,利用得到AE⊥A1D,AE⊥BD,从而证得AE⊥平面A1BD.
(2)先求出面DA1B的法向量,面BA1A的法向量,再利用两法向量夹角与二面角的平面角相等或互补的关系求解即可.
(3)点B1到平面A1BD的距离等于在面A1BD的法向量方向上投影的绝对值.
【解析】
(1)证明:以DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(-1,0,0)
E (-1,-1,0)A1 (1,-2,0)C1 (-1,-2,0)B (0,0,)
=(-2,-1,0)=(-1,2,0)=(0.0,-)
∵=2-2+0=0
∵=0,∴∴
即AE⊥A1D,AE⊥BD,又A1D∩BD=D
∴AE⊥面A1BD
(2)设面DA1B的法向量为=(x1,y1,z1)由
得取=(2,1,0)
设面BA1A的法向量为,
同理由
解得=(3.0,),
cos<>=.
由图可知二面角D-BA1-A为锐二面角,所以它的大小为arccos.
(3)=(0,2,0)平面A1BD的法向量取=(2,1,0)
则点B1到平面A1BD的距离d=.