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在四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长2的正三角形且与底面ABCD垂直,底面A...

在四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长2的正三角形且与底面ABCD垂直,底面ABCD是面积为manfen5.com 满分网的菱形,∠ADC为锐角.
(1)求证:PA⊥CD
(2)求二面角P-AB-D的大小.

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(Ⅰ)过P作PE⊥CD于E连接AE,根据线面所成角的定义可知∠PBE为侧棱PB与底面ABCD所成的角,求出PE与BE,在△BCE中,求出∠BCE,从而得到△ADC是边长为2的等边三角形,则AE⊥CD,根据三垂线定理可知PA⊥CD; (II)根据二面角平面角的定义可知∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角,在三角形APE中求出此角即可. 【解析】 (Ⅰ)过P作PE⊥CD于E连接AE ∵侧面PDC⊥底面ABCD,PE⊂侧面PDC,且PE⊥CD, ∴PE⊥底面ABCD ∵2×AD•DCsin∠ADE= ∴ 故△ADC是边长为2的等边三角形 ∵E为DC的中点,∴AE⊥CD ∴PA⊥CD (Ⅱ)∵PA⊥CD,AE⊥CD,CD∥AB,∴PA⊥AB.AE⊥AB, ∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角 ∵△ADC和△PDC都是边长为2的正三角形, ∴PE=AE,又∵PE⊥AE, ∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小为45°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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