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已知正四面体ABCD的棱长为a. (1)求证:AC⊥BD (2)求AC与BD的距...

已知正四面体ABCD的棱长为a.
(1)求证:AC⊥BD
(2)求AC与BD的距离.
(3)求它的内切球的半径.
(1)取AC中点E,根据AD=DC,AB=BC,可知AC⊥DE,AC⊥BE,从而AC⊥平面BDE,故可证AC⊥BD (2)取BD中点F,证明EF为AC与BD的距离,由于正四面体ABCD的棱长为a,故可求; (3)设内切球心为O,半径为r,利用VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC,各底面面积相等,故可求. 【解析】 (1)证明:取AC中点E ∵AD=DC,AB=BC ∴AC⊥DE,AC⊥BE ∴AC⊥平面BDE ∴AC⊥BD (2)取BD中点F,则,EF⊥BD 同理可证EF⊥AC ∴EF为AC与BD的距离 ∵正四面体ABCD的棱长为a ∴ ∴ (3)设内切球心为O,半径为r ∵VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC ∴
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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