Question

已知正四面体ABCD的棱长为a．
（1）求证：AC⊥BD
（2）求AC与BD的距离．
（3）求它的内切球的半径．

Answer

（1）取AC中点E，根据AD=DC，AB=BC，可知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故可证AC⊥BD
（2）取BD中点F，证明EF为AC与BD的距离，由于正四面体ABCD的棱长为a，故可求；
（3）设内切球心为O，半径为r，利用VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC，各底面面积相等，故可求．
【解析】
（1）证明：取AC中点E
∵AD=DC，AB=BC
∴AC⊥DE，AC⊥BE
∴AC⊥平面BDE
∴AC⊥BD
（2）取BD中点F，则，EF⊥BD
同理可证EF⊥AC
∴EF为AC与BD的距离
∵正四面体ABCD的棱长为a
∴
∴
（3）设内切球心为O，半径为r
∵VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC
∴