Question

若（x²-3x+2）⁵=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰
（1）求a₂
（2）求a₁+a₂+…+a₁₀
（3）求（a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）²．

Answer

（1）根据 （x2-3x+2）5=（x-1）5•（x-2）5，a2 是展开式中x2 的系数，求出a2 的值．
（2）令x=1，代入已知式可得 a+a1+a2+…+a10=0，而令x=0得 a=32，从而求得 a1+a2+…+a10 的值．
（3）令x=-1 可得 a+a2+a4+…+a8+a10-（a1+a3+…+a7+a9）=65，再由a+a2+a4+…+a8+a10+（a1+a3+…+a7+a9）
=0，相乘即得所求．
【解析】
（1）（x2-3x+2）5=（x-1）5•（x-2）5，a2 是展开式中x2 的系数．
∴a2 =C55（-1）5 C53（-2）3+C54（-1）4C54（-2）4+C53（-1）3C55（-2）5=800．
（2）令x=1，代入已知式可得 a+a1+a2+…+a10=0，而令x=0得 a=32，
∴a1+a2+…+a10=-32．
（3）令x=-1 可得 a+a2+a4+…+a8+a10-（a1+a3+…+a7+a9）=65．
再由a+a2+a4+…+a8+a10+（a1+a3+…+a7+a9）=0，
把这两个等式相乘可得 （a+a2+a4+…+a8+a10）2-（a1+a3+…+a7+a9）2=65×0=0．