2010-2011学年湖南省衡阳八中高三（上）第五次月考数学试卷（理科） （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（∁_UM）∪N=（ ）
A．{2}
B．{3}
C．{2，3，4}
D．{0，1，2，3，4}

2. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₂，a₃，a₆成等比数列，则其公比q为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）
A．若向量=（x，y），向量=（-y，x）（x，y≠0），则⊥
B．在△ABC中，和的夹角等于角A
C．四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且||=||
D．点G是△ABC的重心，则++=

4. 难度：中等

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线4ρcosθ+3ρsinθ+a=0相切，则a=（ ）
A．2
B．-9
C．2或-8
D．1或-9

5. 难度：中等

函数y=sinx+sin（-x）具有性质（ ）
A．图象关于点（-，0）对称，最大值为1
B．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
C．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
D．图象关于直线x=-对称，最大值为1

6. 难度：中等

已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=的取值范围是（ ）
A．[，2]
B．（-∞，）∪[2，+∞）
C．（-∞，）∪（2，+∞）
D．[，2）

7. 难度：中等

（理）函数y=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为α（0°＜α＜180°），则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．与α的值有关的数

二、填空题

9. 难度：中等

求和：=    ．

10. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，则∠DAC=    ．

11. 难度：中等

参数方程（t为参数）与（θ为参数）所表示的曲线的公共点个数是    ．

12. 难度：中等

如图，∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为    ．

13. 难度：中等

曲线y=lnx的过原点的切线方程是    ．

14. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是    ．

15. 难度：中等

（理）设定义域为R的函数f（x）=|x²-2x-3|，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且．
（1）求A的大小；
（2）求的取值范围．

17. 难度：中等

已知点M是抛物线上y²=x上的一个动点，弦MA，MB分别交x轴于C，D两点，若MC=MD且∠AMB=90°，求△AMB的重心G的轨迹方程．

18. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，D₁C⊥平面ABCD，AB=1，BC=D₁C=2，E为A₁C的中点．
（1）求证：直线C₁C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

19. 难度：中等

某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金（在扣除100万元的科研投入后）可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？
（参考数据：1.25⁷=4.77，1.25⁸=5.96，1.25⁹=7.45，1.25¹⁰=9.31）

20. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，已知点，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求此椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^2x-2tx，．
（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；
（2）求证：若t=1，则不等式g（x）≥对于任意的x∈[0，+∞）恒成立；
（3）求证：若t∈R，则不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立．