2012-2013学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知直线l与直线x-2y-1=0垂直，且过点（1，1），则l的方程为（ ）
A．2x+y-3=0
B．2x+y-1=0
C．x+2y-3=0
D．x-2y+1=0

2. 难度：中等

设抛物线的方程为y=4x²，则其准线方程为（ ）
A．
B．x=-1
C．
D．y=-1

3. 难度：中等

圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A．x²+（y-2）²=1
B．x²+（y+2）²=1
C．（x-1）²+（y-3）²=1
D．x²+（y-3）²=1

4. 难度：中等

设双曲线的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．6x²-y²=1
D．

5. 难度：中等

设实数x，y满足，则z=2x-y（ ）
A．有最小值-5，最大值0
B．有最小值0，无最大值
C．有最大值0，无最小值
D．既无最小值，也无最大值

6. 难度：中等

已知圆C：x²-2x+y²-2=0，点A（-2，0）及点B（4，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（1，+∞）
B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
C．
D．

7. 难度：中等

一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

8. 难度：中等

已知椭圆的左、右两焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆上，，∠F₁AF₂=45°，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设圆C的圆心为双曲线的左焦点，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x-y+2=0截得的弦长等于，则a等于（ ）
A．1
B．
C．
D．4

10. 难度：中等

过抛物线y²=8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|BF|=3，则△AOB的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和公共的左焦点F，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，设椭圆Ⅰ与Ⅱ的离心率分别为e₁和e₂，则（ ）

A．e₁＜e₂
B．e₁＞e₂
C．e₁=e₂
D．e₁和e₂大小关系不确定

12. 难度：中等

过椭圆上一点P作圆x²+y²=2的两条切线，切点为A，B，过A，B的直线与两坐标轴的交点为M，N，则△MON的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

直线的倾斜角为    ．

14. 难度：中等

AB是过椭圆的左焦点的弦，且两端点A、B的横坐标之和为-7，则|AB|=    ．

15. 难度：中等

过点P（3，0）的直线l与抛物线y²=4x交于A、B两点，则=    ．

16. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线-=1与椭圆+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知直线l₁：ax+2y+6=0，直线．
（1）若l₁⊥l₂，求a的值；
（2）若l₁∥l₂，求a的值．

18. 难度：中等

已知点O（0，0）和点B（3，0），动点P到O，B的距离之比为2：1．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）求△POB面积最大值．

19. 难度：中等

已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆相交于A、B两点，若线段AB的中点M到原点的距离为1，且|AB|=2．
（1）求点M坐标；
（2）求椭圆方程．

20. 难度：中等

已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，若另有一条直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q．
（1）求k的取值范围；
（2）求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

21. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E（x，0）．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x＞3；
（3）△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，说明理由．

22. 难度：中等

已知椭圆及点，过点M作直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）若M是弦PQ的中点，求直线PQ的方程；
（2）求证：以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A，并求出定点A的坐标．