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已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B,若另有一条直...

已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B,若另有一条直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围;
(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
(1)由,得(1-k2)x2+2kx-2=0.再由直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B,利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围. (2)由直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q,知直线l的方程为得x-(2k2+k-2)y+2=0,令x=0,解得直线l在y轴上的截距b=.设f(k)=2k2+k-2=2(k+)2-,由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围. (本小题满分12分) 【解析】 (1)由,得(1-k2)x2+2kx-2=0. 直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B, ∴,解得-<k<-1. ∴k的取值范围是(-,-1).(6分) (2)∵直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q, 设Q(x,y),∴, ∴直线l的方程为:,整理,得x-(2k2+k-2)y+2=0, 令x=0,解得直线l在y轴上的截距b=. 设f(k)=2k2+k-2=2(k+)2-, 则f(k)在(-,-1)上是减函数, ∴f(-1),且f(k)≠0, ∴-1<f(k)<2-,且f(k)≠0, ∴b<-2,或b>2+, 故直线l在y轴上的截距b的取值范围是(-∞,-2)∪(2+,+∞)…12分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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