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已知抛物线y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线与抛物...

已知抛物线y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点,弦AB的中点为P,AB的垂直平分线与x轴交于点E(x,0).
(1)求k的取值范围;
(2)求证:x>3;
(3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形?若能,求此k的值;若不能,说明理由.
(1)设斜率为k的直线方程为y=k(x+1)代入抛物线方程,利用根的判别式,即可得到结论; (2)求出AB的垂直平分线方程,令y=0,即可证得结论. (3)利用EF中点坐标与P的横坐标相等,即可求得结论. (1)【解析】 由题意,M(-1,0), 设斜率为k的直线方程为y=k(x+1) 代入抛物线方程,整理可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0 ∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点, ∴(2k2-4)2-4k4>0且k≠0 ∴-1<k<0或0<k<1 ∴k的取值范围是(-1,0)∪(0,1);      (2)证明:由(1)知,k2x2+(2k2-4)x+k2=0 ∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点,弦AB的中点为P ∴P的横坐标为, 代入y=k(x+1),可得P的纵坐标为                  ∴AB的垂直平分线方程为y-=-(x-) 令y=0可得x==+1 ∵-1<k<0或0<k<1 ∴k2<1且k≠0 ∴ ∴+1>3,即x>3; (3)若△PEF能成为以EF为底的等腰三角形,则 由EF中点坐标与P的横坐标相等,可得 ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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