2012-2013学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x|x²-3x-4≤0}，N={x|x²-16≤0}，则M∪N为（ ）
A．（-∞，4]
B．[-4，4]
C．[-1，4]
D．[-4，-1]

2. 难度：中等

若z=1-i（i是虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A．1+i
B．2+i
C．1-i
D．2-i

3. 难度：中等

已知||=7，||=3，||=5，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a_n=3n-1，若数列{}的前n项和为，则n的值为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16

5. 难度：中等

双曲线的两焦点为F₁，F₂，P点在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．2
B．1
C．4
D．3

6. 难度：中等

程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）

A．-3
B．-
C．
D．2

7. 难度：中等

已知sinα+cosα=，α为第二象限角，则tan（）等于（ ）
A．
B．-7
C．
D．7

8. 难度：中等

若一个几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）

A．π
B．8π
C．2π
D．6π

9. 难度：中等

两圆（x-m）²+y²=9和x²+（y+n）²=4恰有3条公切线，则m+n的最大值为（ ）
A．10
B．10
C．5
D．5

10. 难度：中等

已知2f（x）+f（）=-（x≠0），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为增函数
B．f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为减函数
C．f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为增函数
D．f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为减函数

11. 难度：中等

已知抛物线y²=-2px（p＞0），过其焦点的直线与抛物线交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若x₁x₂=1，则抛物线准线方程为（ ）
A．x=
B．x=
C．x=2
D．x=1

12. 难度：中等

设f（x）=x⁴-8x³+24x²-32x+16，g（x）=sin（x），则方程f（x）-g（x）=0的所有根之和为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S₈=17S₄，则S₅：S₃=    ．

15. 难度：中等

已知直线y=-2与函数f（x）=tan（ωx+）的图象相邻两交点间的距离为，将f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，其图象关于原点对称，则φ的最小值为    ．

16. 难度：中等

三棱锥S-ABC中，若SA⊥平面ABC，SA=AC=2BC=2，∠ACB=60°，则此三棱锥外接球的体积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC的面积为，且（sinC+sinB）（sinC-sinB）=sinA（sinA+sinB）．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC外接圆半径为2，求a+b．

18. 难度：中等

某市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查．
（1）求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数；
（2）若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分别为BC，CC₁的中点．
（1）求证：BN⊥AB₁；
（2）求AC₁与平面AMB₁所成角的正弦值．

20. 难度：中等

如图，设斜率为的直线l与椭圆（a＞b＞0）相交于A，B两点，若弦AB中点P的坐标为（，2），F为其右焦点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若F点到直线l的距离为，求△FAB的面积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）若m=1，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=至少有一个极值点，求m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AD是△ABC边BC上的高．
（1）若△ABC的面积S=，BD=4，DC=3，求AD的长；
（2）若△ABC另外两条边上的高BE，CF 与AD相交于点H，求证：AD平分∠EDF．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₁的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=m，曲线C₂的参数方程为（θ为参数）．
（1）若m=12，试确定C₁与C₂公共点的个数；
（2）已知曲线C₃的参数方程为（t为参数），若直线C₁与C₃相切，求m的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲：
（1）已知f（x）=|x-a|，若不等式f（x）≤2解集为{x|-1≤x≤3}，求a的值；
（2）若log₂（|x-a|+|x-3|）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

25. 难度：中等

设不在y轴负半轴的动点P到F（0，1）的距离比到x轴的距离大1．
（1）求P的轨迹M的方程；
（2）过F作一条直线l交轨迹M于A、B两点，过A，B做切线交于N点，再过A、B作y=-1的垂线，垂足为C，D，若S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN，求此时点N的坐标．