Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分别为BC，CC₁的中点．
（1）求证：BN⊥AB₁；
（2）求AC₁与平面AMB₁所成角的正弦值．

Answer

（1）以M为原点建立空间坐标系分别求出BN与AB1的方向向量，判断两个向量数量积是否为0，即可得到BN⊥AB1；
（2）求出AC1的方向向量及平面AMB1的法向量，代入向量夹角公式，即可得到AC1与平面AMB1所成角的正弦值
【解析】
∵AB=AC，M为BC的中点．
∴AM⊥BC
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱
∴AM⊥平面B1C
取B1C1中点P，连接MP
以M为原点，MB，MP，MA方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
∵AB=AC=5，BC=BB1=8，M，N分别为BC，CC1的中点，
且AM==3
∴M（0，，0，0），A（0，0，3），B（4，0，0），C（-4，0，0），N（-4，4，0），C1（-4，8，0），B1（4，8，0）
（1）=（-8，4，0），=（4，8，-3），
∴•=0
即BN⊥AB1；
（2）由（1）知=（-8，4，0）是平面AMB1的一个法向量
又∵=（-4，8，-3）
设AC1与平面AMB1所成角为θ
则sinθ==
即AC1与平面AMB1所成角的正弦值为