2012年江苏省高考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=    ．

2. 难度：中等

某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取    名学生．

3. 难度：中等

设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为    ．

4. 难度：中等

图是一个算法流程图，则输出的k的值是    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

6. 难度：中等

现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是    ．

7. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3cm，AA₁=2cm，则四棱锥A-BB₁D₁D的体积为    cm³．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为    ．

9. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是    ．

10. 难度：中等

设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，
则a+3b的值为    ．

11. 难度：中等

设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为    ．

14. 难度：中等

已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，已知．
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若cosC=，求A的值．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直线A₁F∥平面ADE．

17. 难度：中等

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

18. 难度：中等

若函数y=f（x）在x=x处取得极大值或极小值，则称x为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P．
（i）若AF₁-BF₂=求直线AF₁的斜率；
（ii）求证：PF₁+PF₂是定值．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=，n∈N^*，
（1）设b_n+1=1+，n∈N*，，求证：数列是等差数列；
（2）设b_n+1=•，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

21. 难度：中等

A．[选修4-1：几何证明选讲]
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．
求证：∠E=∠C．
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ-）=-与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
D．[选修4-5：不等式选讲]
已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x-y|＜，求证：|y|＜．

22. 难度：中等

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

23. 难度：中等

设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆P_n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）．