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在△ABC中,已知. (1)求证:tanB=3tanA; (2)若cosC=,求...

在△ABC中,已知manfen5.com 满分网
(1)求证:tanB=3tanA;
(2)若cosC=manfen5.com 满分网,求A的值.
(1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边,然后两边同时除以c化简后,再利用正弦定理变形,根据cosAcosB≠0,利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA; (2)由C为三角形的内角,及cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值,由tanC的值,及三角形的内角和定理,利用诱导公式求出tan(A+B)的值,利用两角和与差的正切函数公式化简后,将tanB=3tanA代入,得到关于tanA的方程,求出方程的解得到tanA的值,再由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数. 【解析】 (1)∵•=3•, ∴cbcosA=3cacosB,即bcosA=3acosB, 由正弦定理=得:sinBcosA=3sinAcosB, 又0<A+B<π,∴cosA>0,cosB>0, 在等式两边同时除以cosAcosB,可得tanB=3tanA; (2)∵cosC=,0<C<π, sinC==, ∴tanC=2, 则tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2, ∴=-2, 将tanB=3tanA代入得:=-2, 整理得:3tan2A-2tanA-1=0,即(tanA-1)(3tanA+1)=0, 解得:tanA=1或tanA=-, 又coaA>0,∴tanA=1, 又A为三角形的内角, 则A=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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