Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P．
（i）若AF₁-BF₂=求直线AF₁的斜率；
（ii）求证：PF₁+PF₂是定值．

Answer

（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．
（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1-BF2=，用待定系数法求解；
（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．
（1）【解析】
由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2-1．
由点（e，）在椭圆上，得
∴，∴a2=2
∴椭圆的方程为．
（2）【解析】
由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），
又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，
∴由，可得（m2+2）-2my1-1=0．
∴，
∴|AF1|=①
同理|BF2|=②
（i）由①②得|AF1|-|BF2|=，∴，解得m2=2．
∵注意到m＞0，∴m=．
∴直线AF1的斜率为．
（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．
 由点B在椭圆上知，，∴．
 同理．
∴PF1+PF2==
 由①②得，，，
∴PF1+PF2=．
∴PF1+PF2是定值．