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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,manfen5.com 满分网)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.
(i)若AF1-BF2=manfen5.com 满分网求直线AF1的斜率;
(ii)求证:PF1+PF2是定值.

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(1)根据椭圆的性质和已知(1,e)和(e,),都在椭圆上列式求解. (2)(i)设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my,与椭圆方程联立,求出|AF1|、|BF2|,根据已知条件AF1-BF2=,用待定系数法求解; (ii)利用直线AF1与直线BF2平行,点B在椭圆上知,可得,,由此可求得PF1+PF2是定值. (1)【解析】 由题设知a2=b2+c2,e=,由点(1,e)在椭圆上,得,∴b=1,c2=a2-1. 由点(e,)在椭圆上,得 ∴,∴a2=2 ∴椭圆的方程为. (2)【解析】 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0), 又∵直线AF1与直线BF2平行,∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my. 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0, ∴由,可得(m2+2)-2my1-1=0. ∴, ∴|AF1|=① 同理|BF2|=② (i)由①②得|AF1|-|BF2|=,∴,解得m2=2. ∵注意到m>0,∴m=. ∴直线AF1的斜率为. (ii)证明:∵直线AF1与直线BF2平行,∴,即.  由点B在椭圆上知,,∴.  同理. ∴PF1+PF2==  由①②得,,, ∴PF1+PF2=. ∴PF1+PF2是定值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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