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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D 不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1
(2)直线A1F∥平面ADE.

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(1)根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得到CC1⊥平面ABC,从而AD⊥CC1,结合已知条件AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线,得到AD⊥平面BCC1B1,从而平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)先证出等腰三角形△A1B1C1中,A1F⊥B1C1,再用类似(1)的方法,证出A1F⊥平面BCC1B1,结合AD⊥平面BCC1B1,得到A1F∥AD,最后根据线面平行的判定定理,得到直线A1F∥平面ADE. 【解析】 (1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, ∴CC1⊥平面ABC, ∵AD⊂平面ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴AD⊥平面BCC1B1, ∵AD⊂平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)∵△A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F⊂平面A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F⊄平面ADE,AD⊂平面ADE, ∴直线A1F∥平面ADE.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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