Question

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=，n∈N^*，
（1）设b_n+1=1+，n∈N*，，求证：数列是等差数列；
（2）设b_n+1=•，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

Answer

（1）由题意可得，an+1===，从而可得，可证
（2）由基本不等式可得，，由{an}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1
【解析】
（1）由题意可知，an+1===
∴
从而数列{}是以1为公差的等差数列
（2）∵an＞0，bn＞0
∴
从而（*）
设等比数列{an}的公比为q，由an＞0可知q＞0
下证q=1
若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾
0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾
综上可得q=1，an=a1，
所以，
∵
∴数列{bn}是公比的等比数列
若，则，于是b1＜b2＜b3
又由可得
∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾
∴，从而=
∴