2011-2012学年安徽省示范高中高三第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|y=log₂x}，B={x∈Z|x²-4≤0}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∪B=（0，+∞）
B．（∁_UA）∪B=（-∞，0]
C．（∁_UA）∩B={-2，-1，0}
D．（∁_UA）∩B={1，2}

2. 难度：中等

若复数z=（a²-4）+（a+2）i（其中a∈R，i²=-1）是纯虚数，则log₄a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，sinx+cosx=1.5
B．∀x∈（0，+∞），e^x＞x+1
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．∀x∈（0，π），sinx＞cos

4. 难度：中等

cso15°cos30°+cos105°sin30°的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

5. 难度：中等

实数的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a

6. 难度：中等

已知则的取值范围是（ ）
A．[9，15]
B．[10，16]
C．[11，17]
D．[12，18]

7. 难度：中等

设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x的导函数是f'（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（ ）
A．y=-3
B．y=-2
C．y=3
D．y=2

8. 难度：中等

函数f（x）=|x+2|-2^x在定义域内零点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称，f（）=0，则ω的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

10. 难度：中等

若a＞0，b＞0且a+b=2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．a²+b²≥2

二、解答题

11. 难度：中等

已知命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a-1）^x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若sinA=，cosB=，则cosC的值是    ．

13. 难度：中等

已知平面向量，，且，则向量与的夹角为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若A=60°，b、c分别是方程x²-7x+11=0的两个根，则a等于     ．

15. 难度：中等

如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为    ．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．
（1）证明：对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]（x₁+x₂）≤0
（2）解不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0．

17. 难度：中等

设向量，，，若，
求：（1）的值；
（2）的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

19. 难度：中等

近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元．从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件．设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为f（n）万元．（今年为第1年）
（1）求f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

20. 难度：中等

已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：．

21. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a，且f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e²时，恒有成立．