重庆市2017届高三第二次诊断考试模拟数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合， ，则集合的子集个数为（    ）

A. 2    B. 3    C. 4    D. 8

2. 难度：中等

已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

若，则函数在区间内单调递增的概率是（    ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为

A. 200    B. 300    C.     D. 400

5. 难度：简单

已知双曲线的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程可能是（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

点的坐标满足约束条件，由点向圆： 作切线，切点为，则线段的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

设，则的大小关系是（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

10. 难度：中等

如图所示为函数的部分图象，其中两点之间的距离为5，则函数图象的对称轴为（    ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：中等

动直线与抛物线： 相交于两点， 为坐标原点，若，则的最大值为（    ）

A.     B. 8    C. 16    D. 24

12. 难度：中等

不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.已知，给出下列结论：

①是偶函数；

②是周期函数，且最小值周期为；

③的单调递减区间为；

④的值域为.

其中正确的个数为（    ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量， ， ，且，则等于________．

14. 难度：中等

若（其中），则多项式展开式的常数项为________．

15. 难度：中等

已知正项等比数列的公比，且满足， ，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为_________．

16. 难度：中等

下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为__________ ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知的三个内角所对的边分别为，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若动点在的外接圆上，且点不在的同一侧， ，试求面积的最大值.

18. 难度：中等

如图（1），在五边形中， ， ， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形.现将沿折起，使平面平面，如图（2），记线段的中点为.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

19. 难度：中等

团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务， 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.

（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；

（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率.

20. 难度：中等

已知点是圆心为的圆上的动点，点， 为坐标原点，线段的垂直平分线交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过原点作直线交（1）中的轨迹于点，点在轨迹上，且，点满足，试求四边形的面积的取值范围.

21. 难度：中等

已知函数（为实数， 为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行.

（1）求实数的值，并判断函数在区间内的零点个数；

（2）证明：当时， .

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.

（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；

（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段的中点的轨迹方程.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）画出函数的图象；

（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.