Question

如图（1），在五边形中， ， ， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形.现将沿折起，使平面平面，如图（2），记线段的中点为.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】【试题分析】（1）运用面面垂直的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析求【解析】

（1）【解析】
∵， 是线段的中点，∴.

又∵，∴四边形为平行四边形，又，∴，

又∵是等腰直角的中点，∴.

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）∵平面平面，且，∴平面，∴.

∴两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵为等腰直角三角形，且，

∴，

∴， ， ， ， ， ，

∴， ，设平面的一个法向量为，则有

，∴，取，得，

∵平面，∴平面的一个法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，则

，

∴平面与平面所成的锐二面角大小为.

点睛：立体几何是高中数学中传统的经典内容，也是高考重点考查的考点与热点。这类问题是设置旨在考查空间线面的位置关系与角度、距离等度量关系等知识的运用能力。线面的垂直与平行的推证常常要借助判定定理进行分析；而角度距离的计算与求解则常常需要建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式及数量积公式进行分析求解。