Question

已知函数（为实数， 为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行.

（1）求实数的值，并判断函数在区间内的零点个数；

（2）证明：当时， .

Answer

（1），没有零点;（2）见解析.

【解析】【试题分析】（1）先借助导数的几何意义建立方程求出的值，再运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（2）借助题设先将不等式进行等价转化，再运用导数知识进行分析推证：

（1），由题设，可知曲线在处的切线的斜率，解得，

∴，

∴当时， ，

∴在区间内为增函数，

又，∴在区间内没有零点.

（2）当时， 等价于，记，

则，当时， ，

∴当时， 在区间内单调递增，

∴，即，两边取自然对数，得（），

∴要证明（），只需证明（），

即证当时， ，①

设，则，令，

则，当时， ；当时， .

∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，又， ， ，∴，∴存在，使得，

∴当时， ；

当时， ，∴在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，

又，∴，当且仅当时，取等号，即①式成立，

∴.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数知识在研究导数的几何意义、函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先借助导数的几何意义建立方程求出的值，再运用导数与函数的单调性之间的关系确定函数是单调递增函数，且无交点从而使得问题获解；解答第二问时，先借助题设条件将不等式进行等价转化为，再构造函数，运用等价转化的数学思想进行分析推证，进而使得问题获证。