2016-2017学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，∁________．

2. 难度：简单

若复数满足（为虚数单位），则______________．

3. 难度：简单

函数的定义域为______________．

4. 难度：简单

下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______________．

5. 难度：简单

某高级中学共有名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取个容量为的样本，其中高一年级抽人，高三年级抽人．则该校高二年级学生人数为_________．

6. 难度：简单

已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为____________．

7. 难度：简单

从集合中任取两个不同的数，则这两个数的和为的倍数的概率为_______．

8. 难度：简单

在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为______________．

9. 难度：简单

设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为______________．

10. 难度：简单

在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为______________．

11. 难度：中等

在△中，已知，若点满足，且，则实数的值为______________．

12. 难度：中等

已知，则______________．

13. 难度：中等

若函数，则函数的零点个数为______________．

14. 难度：困难

若正数满足，则的最小值为______________．

二、解答题

15. 难度：简单

在△中，分别为角的对边．若，且．

（1）求边的长；（2）求角的大小．

16. 难度：中等

如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是棱上一点，且∥平面．

（1）求证：是中点；

（2）若，求证：．

17. 难度：中等

某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）．设计要求彩门的面积为（单位：），高为（单位：）（为常数）．彩门的下底固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为．

（1）请将表示成关于的函数；

（2）问当为何值最小，并求最小值．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.

（1）求该椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.

19. 难度：中等

已知函数（为正实数，且为常数）.

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

20. 难度：困难

已知为正整数，数列满足，，设数列满足.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列是等差数列，求实数的值；

（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

21. 难度：中等

已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成.

（1）求矩阵；

（2）求矩阵的另一个特征值.

22. 难度：简单

已知圆和圆的极坐标方程分别为.

（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

23. 难度：中等

如图，已知正四棱锥中， ，点分别在上，且.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值.

24. 难度：困难

设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.

（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，；

（2）求证：对任何正整数，.