Question

已知函数（为正实数，且为常数）.

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）对函数进行求导即，因在上单调递增，则，利用分离参数思想得恒成立，即即可；（2）分为和两种情形，当时，结合（1）很容易得到结论，当时，运用二次求导确定其单调性得解.

试题解析：（1），.

因在上单调递增，则，恒成立.

令，则，

x

－

＋

减

极小值

增

因此，，即.

（2）当时，由（1）知，当时，单调递增.

又，当，；当时，.

故不等式恒成立．

若，，

设，令，则.

当时，，单调递减，则，

则，所以当时，单调递减，

则当时，，此时，矛盾.

因此，.

点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.