Question

如图，已知正四棱锥中， ，点分别在上，且.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）.; （2）.

【解析】试题分析：（1）设，交于点，以为坐标原点，，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（2）将二面角用面的法向量所成的角表示.

试题解析：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面. 又，所以. 以为坐标原点，，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，

故，，

所以，，

，

所以与所成角的大小为.

（2）， ，.

设是平面的一个法向量，则,，

可得 令，，，即，

设是平面的一个法向量，则，，

可得 令，，，即，

，

则二面角的余弦值为.

点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围.