2016届湖北省高三5月一模理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，全集，则（   ）

A．        B．        C．            D．

2. 难度：简单

已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（   ）

A．             B．              C．              D．

3. 难度：中等

已知，，则下列结论正确的是（   ）

A．是偶函数        

B．是奇函数

C．是偶函数          

D．是奇函数

4. 难度：困难

过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（   ）

A．              B．2                C．             D．

5. 难度：简单

现有4种不同的颜色为我校校训四个主题词（如图）涂色，则相邻的词语涂色不同的概率为（   ）

A．              B．               C．              D．

6. 难度：简单

如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设，与的函数关系为，则的大致图象是（   ）

7. 难度：简单

执行如图所示的程序，若，则输出的值是（   ）

A．3               B．4                   C．5                  D．6

8. 难度：简单

设，且，则（   ）

A．            B．           

C．          D．

9. 难度：简单

不等式组的解集记为，有下面四个命题：

；；

；.

其中的真命题是（   ）

A．           B．           C．        D．

10. 难度：简单

已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（    ）

A．2             B．             C．              D．

11. 难度：困难

已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（   ）

A．            B．           C．        D．

12. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（   ）

A．            B．              C．           D．

二、填空题

13. 难度：中等

在的展开式中，含项的系数为         .

14. 难度：简单

在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：

第一个人说：“我们四个人全都是骗子”；

第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；

第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；

第四个人说：“我是老实人”.

请判断一下，第四个人是老实人吗？         .（请用“是”或“否”作答）

15. 难度：简单

已知分别是的中线，若，且，则与的夹角为         .

16. 难度：简单

在四边形中，，，则的最大值为         .

三、解答题

17. 难度：中等

设是数列的前项和，已知， ， .

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

18. 难度：简单

为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；

①；②；

③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.

（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品

（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；

（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.

19. 难度：困难

如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等比三角形，过作平面平行于，交于点.

（1）求证：；

（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值.

20. 难度：压轴

已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.

21. 难度：压轴

已知函数.

（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；

（2）若，证明：，总有.

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形是圆的内接四边形，是圆的直径，，的延长线与的延长线交于点，过作，垂足为点.

（1）证明：是圆的切线；

（2）若，求的长.

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.

（1）若直线与曲线交于两点，求的值；

（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数，，，且关于的不等式对恒成立.

（1）求实数的最大值；

（2）若正实数满足，求的最小值.