Question

如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等比三角形，过作平面平行于，交于点.

（1）求证：；

（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）可以设法证明点为的中点；（2）可建立空间直角坐标系运用向量知识求解.

试题解析：

（1）证：连结，设与相交于点，

连接，则为中点，

∵平面，平面平面，

∴，∴为的中点，

又∵是等边三角形，∴，

（2）因为，所以，

又，，所以，又，所以平面，

设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

则，

即，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

∴，

故所求二面角的余弦值是.

考点：空间直线与平面的位置关系、空间向量等知识的综合运用．