Question

已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用椭圆的定义求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系联立方程组,建立目标函数求解.

试题解析：

（1）设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，得，

而的周长为，

当且仅当过点时，等号成立，

所以，即，又离心率为，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.

设，则，

且，，所以②

令，则②式可化为.

当且仅当，即时，等号成立.

所以直线的方程为或.

考点：直线与椭圆的有关知识及基本不等式的综合运用．

【易错点晴】本题设置的目的是考查直线与椭圆的位置关系等基础知识和基本方法,也是检测运算求解能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答本题的第一问时,直接运用了题设条件中所提供的信息建立方程求出了；第二问中的问题的求解中借助直线与椭圆的位置关系,建立了关于变量的面积函数,然后通过换元将其转化为变量的函数,借助基本不等式求出取得最大值时的值.使得问题简捷巧妙地获解,解答过程简捷明快,值得借鉴.