选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形
是圆
的内接四边形，
是圆
的直径，
，
的延长线与
的延长线交于点
，过
作
，垂足为点
.
（1）证明：
是圆
的切线；
（2）若
，求的长.
已知函数
.
（1）若函数
存在单调增区间，求实数
的取值范围；
（2）若
，证明：
，总有
.
已知椭圆
的左焦点为
，离心率为
，直线
与椭圆相交于
两点，当
轴时，
的周长最大值为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
过点
，求当面积最大时直线
的方程.
如图，在三棱柱
中，底面
是边长为2的等比三角形，过
作平面
平行于
，交
于
点.
（1）求证：
；
（2）若四边形
是正方形，且
，求二面角
的余弦值.
为评估设备
生产某种零件的性能，从设备
生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值
，标准差
，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为
，并根据以下不等式进行评判（
表示相应事件的频率）；
①
；②
；
③
.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备
的性能等级.
（2）将直径小于等于
或直径大于
的零件认为是次品
（ⅰ）从设备
的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数
的数学期望
；
（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数
的数学期望
.
设
是数列
的前
项和，已知
， 
， 
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前
项和
.
