2012-2013学年湖北省黄冈市黄州区菱湖高中高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且，则下列结论①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN中，正确命题的个数是（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

如图，以等腰三角形ABC的斜边BC上的高AD位折痕，将△ABD和△ACD折起，使折起后的△ABC成等边三角形，则二面角C-AB-D的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分别是棱AA₁、CC₁的中点，则过点B、P、Q的截面是（ ）
A．三角形
B．菱形但不是正方形
C．正方形
D．邻边不等的矩形

4. 难度：中等

如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都相交
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行
其中真命题的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

一个正方体的展开图如图示，C、D为原正方体的顶点，AB为原正方体的棱的中点，在原正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（ ）

A．0
B．
C．
D．

6. 难度：中等

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A．6π
B．7π
C．8π
D．9π

8. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m

9. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁与平面BDD₁B₁所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

10. 难度：中等

下列命题中错误的是（ ）
A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
D．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β

二、填空题

11. 难度：中等

若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则此四面体的体积V=    ．

12. 难度：中等

已知m，n为直线，a，b为平面，给出下列结论：
①⇒n∥a  ②⇒m∥n  ③⇒m∥n  ④⇒α∥β
其中正确结论的序号是：    ．

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角C₁-BD-C的正切值为    ．

14. 难度：中等

①若a垂直于α内的两条相交直线，则a⊥α；
②若a垂直于α内的无数条直线，则a⊥α；
③若b∥β，则b平行于β内的所有直线；
④若a⊂α、b⊂β，a⊥b，则β⊥α；
⑤若a⊂α、b⊂β，β∥α，则a∥b；
⑥若b⊂β，b⊥α，则β⊥α；
其中正确的是    （只填序号）

15. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论中正确的是    ．
①AC∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是；
④AD₁与BD为异面直线．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=30°，AB=2，AD=，E是SC的中点．
（I）求证：SA∥平面BDE；
（II）求证：AD⊥SB；
（III）若SD=2，求二面角E-BD-C的余弦值．

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）求四棱锥E-ABCD的体积；
（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

18. 难度：中等

如图，几何体ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB何AB的中点．
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求二面角B-FC-G的正切值．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

20. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

21. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．