Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论中正确的是    ．
①AC∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是；
④AD₁与BD为异面直线．

Answer

由AC∩平面CB1D1=C，能判断①不正确；由正方体的性质和直线与平面垂直的判定定理，能判断②正确；由线面角的求法能判断③正确；由异面直线判定定理，能判断④正确．
【解析】
由ABCD-A1B1C1D1为正方体，知：
①∵AC∩平面CB1D1=C，∴AC与平面CB1D1相交，故①不正确；
②由正方体的性质，得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．
同理可得 B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确；
③AC1与底面ABCD所成角的正切值tan=，故③正确；
④∵AD1∩平面ABCD=A，BD⊂平面ABCD，A∉BD，
∴由异面直线判定理，知AD1与BD为异面直线，故④正确．
故答案为：②③④．