Question

如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都相交
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行
其中真命题的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

对于①，点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．
③过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．
【解析】
直线AB与B1C1 是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取C1C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，
直线HM必与AB直线相交于某点O．
所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故 ③不正确．
过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，
故选C．