Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=30°，AB=2，AD=，E是SC的中点．
（I）求证：SA∥平面BDE；
（II）求证：AD⊥SB；
（III）若SD=2，求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer

（I）连接AC交BD于F，连接EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，由E为SC的中点，知SA∥EF，由此能够证明SA∥平面BDE．
（Ⅱ）由AB=2，AD=，∠BAD=30°，利用余弦定理得BD=1，由AD2+BD2=AB2，知AD⊥BD．由此能够证明AD⊥SB．
（Ⅲ）以DA为x轴，以DB为y轴，以DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角E-BD-C的余弦值．
（I）证明：连接AC交BD于F，连接EF，
由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，
又E为SC的中点，所以SA∥EF，
∵SA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，
∴SA∥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）证明：由AB=2，AD=，∠BAD=30°，
及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD=1，
∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥SD，
∴AD⊥平面SBD，又SB⊂平面SBD，
∴AD⊥SB．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
∵SD⊥底面ABCD，AD⊥BD，∴以DA为x轴，以DB为y轴，以DS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SD=2，∠BAD=30°，AB=2，AD=，E是SC的中点．
∴B（0，1，0），C（-，2，0），D（0，0，0），E（-，，1），
∴，=（-，，1），
设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，，
∴，解得=（2，0，），
∵平面BDC的法向量=（0，0，1），
∴二面角E-BD-C的余弦值为cos＜＞==．