2012-2013学年江苏省泰州市姜堰市高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知点A（1，1），点B（3，5），则向量的模为    ．

2. 难度：中等

已知集合M={x|x²-2x-3=0}，N={x|-4＜x≤2}，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

各项是正数的等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则数列{a_n}公比q=    ．

4. 难度：中等

已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），且此函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是    ．

5. 难度：中等

已知x＞1，则x+的最小值为    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，，，则cosB=    ．

7. 难度：中等

若函数f（x）=（x-2）（x²+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为    ．

8. 难度：中等

已知cosα=，cos（α-β）=，且0，则cosβ=    ．

9. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（5）=    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+2n=2a_n，则数列{a_n}的通项公式为    ．

11. 难度：中等

设函数f（x）=n-1，x∈[n，n+1），n∈N，则方程f（x）=log₂x有    个根．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2x，对任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q≠1，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，T_n（k）表示{a_n}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即T_n（k）=（n，k∈N⁺，k≤n），则数列的前n项的和是    （用a₁和q表示）

14. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知各项均不相同的等差数列{a_n}的前四项和S_n=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{}的前n项和，求T₂₀₁₂的值．

16. 难度：中等

已知=（），=（sinx，cosx），设函数f（x）=，x
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．

17. 难度：中等

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（x_n））

18. 难度：中等

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．

19. 难度：中等

已知常数a＞0，函数
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常数t，使对于任意时，f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知等比数列{a_n} 的首项a₁=2011，公比，数列{a_n} 前n项和记为s_n，前n项积记为
（1）证明s₂≤s_n≤s₁
（2）判断与的大小，n为何值时，取得最大值
（3）证明{a_n} 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d₁，d₂，d₃，…d_n，…，，证明：数列{d_n}为等比数列．（参考数据2¹⁰=1024）