Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+2n=2a_n，则数列{a_n}的通项公式为    ．

Answer

由Sn+2n=2an，知Sn=2an-2n．当n=1 时，S1=2a1-2，则a1=2，当n≥2时，Sn-1=2an-1-2（n-1），故an=2an-1+2，由此能够求出数列{an}的通项公式an．
【解析】
∵Sn+2n=2an，∴Sn=2an-2n，
当n∈N*时，Sn=2an-2n，①
当n=1时，S1=2a1-2，则a1=2，
则当n≥2，n∈N*时，Sn-1=2an-1-2（n-1）．②
①-②，得an=2an-2an-1-2，
即an=2an-1+2，
∴an+2=2（an-1+2）
∴=2，
∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+2=4•2n-1，
∴an=2n+1-2．
故答案为：an=2n+1-2．