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已知等比数列{an} 的首项a1=2011,公比,数列{an} 前n项和记为sn...

已知等比数列{an} 的首项a1=2011,公比manfen5.com 满分网,数列{an} 前n项和记为sn,前n项积记为manfen5.com 满分网
(1)证明s2≤sn≤s1
(2)判断manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网的大小,n为何值时,manfen5.com 满分网取得最大值
(3)证明{an} 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1,d2,d3,…dn,…,,证明:数列{dn}为等比数列.(参考数据210=1024)
(1)由等比数列{an} 的首项和公比,利用等比数列的前n项和公式表示出数列{an} 前n项和sn,然后分n为奇数和偶数两种情况即可得到sn的最大值和最小值,得证; (2)由π(n)表示前n项之积,表示出,根据n等于10时其值大于1,n等于11时其值小于1,得到|π(n)|最大值等于|π(11)|,但是π(11)小于0,而π(10)小于0,π(9)大于0,π(12)大于0,所以π(n)的最大值是π(9)与π(12)中的较大者,利用做商的方法即可判断出π(n)的最大值是π(12); (3)设出数列{an} 中的任意相邻三项为:an,an+1,an+2,然后根据|an|随n增大而减小,{an}奇数项均为正,偶数项均为负,分n为奇数和偶数对设出的三项进行调整,利用等差数列的性质确定其三项为等差数列,并求出相应的公差,得到数列{dn}的通项,根据等比数列的性质可得数列{dn}为等比数列,得证. 【解析】 (1)由等比数列{an} 的首项a1=2011,公比, 得sn==a1[1-], ①n是奇数时,=-,n=1时,-最小, ②n是偶数时,=,n=2时,最大, 综上:s2≤sn≤s1; (2)∵|π(n)|=|a1a2a3…an|,∴=|an+1|=2011×, ∵>1>, 当n≤10时,|π(n+1)|>|π(n)|;当n≥11时,|π(n+1)|<|π(n)|; ∴|π(n)|max=|π(11)|,但π(11)<0,∵π(10)<0,π(9)>0,π(12)>0, ∴π(n)的最大值是π(9)与π(12)中的较大者, ∵=a10•a11•a12=>1, ∴π(9)<π(12), ∴当n=12时,π(12)最大; (3)对an,an+1,an+2进行调整,|an|随n增大而减小,{an}奇数项均为正,偶数项均为负, ①当n是奇数时,调整为:an+1,an+2,an; 则an+1+an=a1+a1=a1,2an+2=2a1=a1, ∴an+1+an=2an+2,即an+1,an+2,an成等差数列; ②当n为偶数时,调整为:an,an+2,an+1, 则an+1+an=a1+a1=a1,2an+2=2a1=a1, ∴an+1+an=2an+2,即an,an+2,an+1成等差数列; 所以{an}中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列. ①n是奇数时,公差dn=an+2-an+1=a1[-]=a1; ②当n为偶数时,公差dn=an+2-an=a1[-]=a1, 无论n是奇数还是偶数,都有dn=a1,则=, ∴数列{dn}是以d1=a1,公比为的等比数列.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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