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已知常数a>0,函数 (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若0<a≤2,求f...

已知常数a>0,函数manfen5.com 满分网
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若0<a≤2,求f(x)在区间[1,2]上的最小值g(a);
(3)是否存在常数t,使对于任意manfen5.com 满分网时,f(x)f(2t-x)+f2(t)≥[f(x)+f(2t-x)]f(t)恒成立,若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(1)分段确定函数的单调递增区间,即可得到函数f(x)的单调递增区间; (2)根据函数的通项,分类讨论,确定函数的单调性,从而可得函数的最小值; (3)由f(x)f(2t-x)+f2(t)≥[f(x)+f(2t-x)]f(t),可得[f(t)-f(x)][f(t)-f(2t-x)]≥0,从而可得t为极小值点,或t为极大值点,根据,即可求得结论. 【解析】 (1)当时,为增函数. …(1分) 当时,f'(x)=3x2. 令f'(x)>0,得x>a或x<-a.…(3分) ∴f(x)的增区间为(-∞,-a),和(a,+∞).…(4分) (2)函数的图象如图,由图可知, ①当1<a<2时,,f(x)在区间[1,a]上递减,在[a,2]上递增,最小值为f(a)=4a3;…(6分) ②当0<a≤1时,f(x)在区间[1,2]为增函数,最小值为f(1)=1+3a4;…(8分) ③当a=2时,f(x)在区间[1,2]为减函数,最小值为f(a)=4a3; …(9分) 综上,f(x)最小值.  …(10分) (3)由f(x)f(2t-x)+f2(t)≥[f(x)+f(2t-x)]f(t), 可得[f(t)-f(x)][f(t)-f(2t-x)]≥0,…(12分) 即或成立,所以t为极小值点,或t为极大值点. 又时,f(x)没有极大值,所以t为极小值点,即t=a…(16分) (若只给出t=a,不说明理由,得1分)
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考点分析:
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x-145
f(x)1221
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下列关于f(x)的命题:
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)在[0,2]是减函数;
③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;
⑤函数y=f(x)-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
其中正确命题的序号是   
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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