2011-2012学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，若共线，则实数x=（ ）
A．
B．
C．1
D．2

2. 难度：中等

命题：“∀x∈R，cos2x≤cos²x”的否定为（ ）
A．∀x∈R，cos2x＞cos²
B．∃x∈R，cos2x＞cos²
C．∀x∈R，cos2x＜cos²
D．∃x∈R，cos2x≤cos²

3. 难度：中等

若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=e^x+2x-5的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内

6. 难度：中等

，为非零向量，“函数f（x）=（x+）²为偶函数”是“⊥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A．36cm³
B．48cm³
C．60cm³
D．72cm³

8. 难度：中等

函数，则y的取值范围是（ ）
A．{y|y≤2}
B．{y|y∈R}
C．{y|0≤y≤2}
D．{y|y≥0}

9. 难度：中等

已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．9

10. 难度：中等

列a₁，，，…，，…是首项为1，公比为-的等比数列，则a₅等于（ ）
A．-32
B．32
C．-64
D．64

11. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．3
C．
D．-3

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，，用[x]表示不超过x的最大整数，则[]的值等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

若，则cos2α=    ．

14. 难度：中等

已知{a_n} 为等差数列，a₃=7，a₁+a₇=10，S_n为其前n项和，则使S_n达到最大值的n等于    ．

15. 难度：中等

已知某圆锥体的底面半径r=1，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是    ．

16. 难度：中等

若对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是曲线的切线，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx
①求函数f（x）的最小正周期；
②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．

18. 难度：中等

一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E为线段AA₁上的点．
（1）求几何体E-B₁C₁CB的体积；
（2）是否存在点E，使平面EBC⊥平面EB₁C₁，若存在，求AE的长．

19. 难度：中等

我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100～500元，600～1000元，以及年龄在20～39岁，40～59岁之间进行了统计，相关数据如下：

（1）用分层抽样的方法在缴费100～500元之间的村民中随机抽取5人，则年龄在20～39岁之间应抽取几人？
（2）在（1）的条件下抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40～59岁之间的概率．
（3）能否有95%的把握认为缴费的档次与年龄有关？

20. 难度：中等

等差数列{a_n} 的前n项的和为S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n} 的通项公式；
（2）若数列{b_n} 满足b_n-b_n=a_n-1（n∉N^*），且b₁=3，设数列的前n项和为T_n．求证：T_n＜．

21. 难度：中等

椭圆C：的右焦点F₂（1，0），离心率为，已知点M坐标是（0，3），点P是椭圆C上的动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PM|+|PF₂|的最大值及此时的P点坐标．

22. 难度：中等

设函数x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．