2011-2012学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

不等式x²+2x-3≥0的解集为（ ）
A．{x|x≥3或x≤-1}
B．{x|-1≤x≤3}
C．{x|x≥1或x≤-3}
D．{x|-3≤x≤1}

3. 难度：中等

已知S_n是等比数列的前n项和，，则a₁=（ ）（选择最佳答案）
A．3+a
B．-1
C．2
D．1

4. 难度：中等

设等差数列a_n的前n项之和为S_n，已知S₁₀=100，则a₄+a₇=（ ）
A．12
B．20
C．40
D．100

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则a₂与b₂的大小关系为（ ）
A．a₂≤b₂
B．a₂≥b₂
C．a₂＜b₂
D．a₂＞b₂

6. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a=1，b=，A=30°，则c的值为（ ）
A．2
B．1
C．1或2
D．或2

7. 难度：中等

下面结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则有
B．若a＞b，则有a|c|＞b|c|
C．若a＞b，则有|a|＞b
D．若a＞b，则有

8. 难度：中等

设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）=（ ）  当n＞4时，f（n）=（ ）
A．4，
B．4，
C．5，
D．5，

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设单调递增的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

设R为平面上以O（0，0），A（0，-2），B（4，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则在区域R上  2x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为    ．

13. 难度：中等

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为    ．

14. 难度：中等

如图，在面积为1的正△A₁B₁C₁内作正△A₂B₂C₂，使，，，依此类推，在正△A₂B₂C₂内再作正△A₃B₃C₃，…．记正△A_iB_iC_i的面积为a_i（i=1，2，…，n），则a₁+a₂+…+a_n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，．
（1）求b的值；
（2）求sinA的值．

16. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a（a∈R），设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁、a₂、a₄恰为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）当n≥2时，比较与的大小．（可使用结论：n≥2时，2ⁿ＞n+1）

17. 难度：中等

某企业生产甲．乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润6万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．求甲乙两种产品各生产多少吨时，该企业可获得最大利润，并求出最大利润？

18. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知关于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集为A，且3∉A．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求集合A．

20. 难度：中等

已知α，β∈R且αβ≠0，数列{x_n}满足x₁=α+β，，x_n+2=（α+β）x_n+1-αβ•x_n（n≥1，n∈N），令b_n=x_n+1-αx_n．
（1）求证：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{x_n}的通项公式；（不能直接使用竞赛书上的结论，要有推导过程）
（3）若，求{x_n}的前n项和S_n．