Question

已知α，β∈R且αβ≠0，数列{x_n}满足x₁=α+β，，x_n+2=（α+β）x_n+1-αβ•x_n（n≥1，n∈N），令b_n=x_n+1-αx_n．
（1）求证：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{x_n}的通项公式；（不能直接使用竞赛书上的结论，要有推导过程）
（3）若，求{x_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）利用已知条件，推出是常数，即可证明{bn}是等比数列；
（2）通过α≠β与α=β，分别求出数列{xn}的通项公式；（不能直接使用竞赛书上的结论，要有推导过程）
（3）利用（2）的结论，通过，写出{xn}的通项公式，利用错位相减法求出前n项和Sn．
【解析】
（1）因为bn=xn+1-αxn．
所以b1=x2-αx1=α2+αβ+β2-α（α+β）=β2．
=β．所以{bn}是等比数列；
（2）①当α≠β时，∴xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2），xn-βxn-1=α（xn-1-βxn-2），
由等比数列性质可得，
xn-αxn-1=（x2-αx1）βn-2=βn，
xn-βxn-1=（x2-βx1）αn-2=αn，
联立解得：xn=，
②当α=β时，由①可得，xn-αxn-1=（x2-αx1）βn-2，
∵α=β，xn-αxn-1=（x2-αx1）αn-2=αn，即xn=αxn-1+αn，
等式两边同除以αn，得：
即，
数列是以1为公差的等差数列，，

综上所述，…（10分）
（3）因为，由（2）可得
Sn=+，
令P=，…①
=…②，
①-②得，==．
∴Sn=…（14分）