2011-2012学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

抛物线y=-2x²的焦点坐标是（ ）
A．
B．（-1，0）
C．
D．

3. 难度：中等

“x＞1”是“x²＞x”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．±1
D．2

5. 难度：中等

若A（x，5+x，2x-1），B（1，x+2，x），当|AB|取最小值时，x的值为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

下列命题中为真命题的是
①“若x²+y²≠0，则x，y不全为零”的否命题； ②“等腰三角形都相似”的逆命题；  ③“若m＞1，则不等式x²+2x+m＞0的解集为R”的逆否命题．（ ）
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③

7. 难度：中等

设a₁，a₂，a₃，a₄成等比数列，其公比为2，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

设A是△ABC的最小角，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥3
B．m＞-1
C．-1＜m≤3
D．m＞0

9. 难度：中等

已知方程ax²+by²=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

椭圆上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为-，则|OP|²+|OQ|² 为（ ）
A．4
B．20
C．64
D．不确定

二、填空题

13. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为    ．

14. 难度：中等

若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为    ．

15. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄-a₂=8，a₃+a₅=26．记T_n=，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是    ．

16. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a²-（b-c）²=bc，
（ I）求角A；
（ II）若，求b的值．

18. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S_n．

19. 难度：中等

某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元）．
（ I）该厂从第几年开始盈利？
（ II）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．

20. 难度：中等

已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．

21. 难度：中等

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：
①；②a=1；③；建立适当的空间直角坐标系，
（ I）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由；
（ II）在满足（ I）的条件下，若a取所给数据的最小值时，这样的点Q有几个？若沿BC方向依次记为Q₁，Q₂，…，试求二面角Q₁-PA-Q₂的大小．

22. 难度：中等

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．