2009-2010学年广东省广州市天河区高一（下）数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线x•tan+y-1=0的倾斜角α是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）
A．9与13
B．7与10
C．10与16
D．10与15

3. 难度：中等

已知集合E={x|-2≤x＜7}，F={x|m+1≤x≤2m-1}≠∅，若E∪F=E，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-3，4）
B．[-3，4]
C．[2，4）
D．（2，4）

4. 难度：中等

从原点向圆x²+y²-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π

5. 难度：中等

函数y=log_a（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（2，+∞）

6. 难度：中等

函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数

7. 难度：中等

为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

8. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2+
B．
C．
D．1+

10. 难度：中等

已知t＞0，关于x的方程，则这个方程实根的个数不可能为（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量，    ．

12. 难度：中等

一束光线从点A（-1，1）发出，并经过x轴反射，到达圆（x-2）²+（y-3）²=1上一点的最短路程是    ．

13. 难度：中等

f（x）=（x+a）（x+b）是偶函数，且它的定义域为（a，a+4），则该函数的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知5sin2a=sin2°，则=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

已知△ABC中，点A（3，-1），AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为x-4y+10=0，求BC边所在直线的方程．

17. 难度：中等

已知向量，，．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，AH⊥BE，且，求sinα．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，
E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．

20. 难度：中等

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实常数），f（0）=1，．
（Ⅰ）若f（-2）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求g（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若h（x）=f（x）+kx不是[-2，2]上的单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设a＞0，m＞0，n＜0且m+n＞0，当f（x）为偶函数时，求证：g（m）+g（n）＜0．