Question

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实常数），f（0）=1，．
（Ⅰ）若f（-2）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求g（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若h（x）=f（x）+kx不是[-2，2]上的单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设a＞0，m＞0，n＜0且m+n＞0，当f（x）为偶函数时，求证：g（m）+g（n）＜0．

Answer

（Ⅰ）根据题意，由f（0）=1可得c=1；再由f（-2）=0可得4a-2b+1=0，进而又由f（x）≥0对x∈R恒成立，知a＞0且△=b2-4a≤0；与4a-2b+1=0联立可得（b-1）2≤0，即可得b、a的值；由a、b、c的值可得f（x）的解析式，进而可得g（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知h（x）的解析式，分析可得其图象的对称轴为x=-2（k+1），再由题意，结合二次函数的性质，可得-2＜-2（k+1）＜2，解可得答案；
（Ⅲ）根据f（x）为偶函数，可得b=0，即可得f（x）=ax2+1，又由a＞0，由二次函数的奇偶性可得g（x）在（0，+∞）上为减函数；又由题意，对m、n的关系变形可得m＞-n＞0，可得证明．
【解析】
（Ⅰ）由f（0）=c=1，则c=1，
由f（-2）=0得4a-2b+1=0，
又由f（x）≥0对x∈R恒成立，知a＞0且△=b2-4a≤0，
即b2-2b+1=（b-1）2≤0，
∴；
从而；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，其图象的对称轴为x=-2（k+1），
再由h（x）在[-2，2]上不是单调函数，
故得-2＜-2（k+1）＜2，
解可得-2＜k＜0，
（Ⅲ）证明：若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
则b=0，
∴f（x）=ax2+1，
又由a＞0，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
从而可得g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又m＞0，n＜0，m+n＞0，
∴m＞-n＞0，从而g（m）＜g（-n）
且g（-n）=-f（-n）=-f（n）=-g（n）
故得g（m）＜-g（n），
因此，g（m）+g（n）＜0．