2009-2010学年海南省儋州市洋浦中学高三（上）第四次次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，且集合B中的每一个元素都有原象，若A={-2，0，2}，则A∩B等于（ ）
A．{0}
B．{2}
C．{0，2}
D．{-2，0}

2. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x²≥1，则x≥1或x≤-1
B．若-1＜x＜1，则x²＜1
C．若x＞1或x＜-1，则x²＞1
D．若x≥1或x≤-1，则x²≥1

3. 难度：中等

已知x，y∈R，i是虚数单位，且（x-1）i-y=2+i，则（1+i）^x-y的值是（ ）
A．-4
B．4
C．-1
D．1

4. 难度：中等

在数列{a_n}中，a_n=2n+3，前n项和S_n=an²+bn+c，n∈N^*，其中a，b，c为常数，则a-b+c=（ ）
A．-3
B．-4
C．-5
D．-6

5. 难度：中等

若sin2a=，则sin⁴a+cos⁴a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知A（-3，0），B（0，）O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=（λ∈R），则λ等于（ ）
A．
B．
C．
D．3

7. 难度：中等

将函数y=sin（2x+）的图象经怎样平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（ ）
A．向左移
B．向左移
C．向右移
D．向右移

8. 难度：中等

关于x的不等式ax+b＜0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为（ ）
A．{x|1＜x＜2}
B．{x|-1＜x＜2}
C．{x|x＜-1或x＜2}
D．{x|x＞2}

9. 难度：中等

已知f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x；若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₀₉=（ ）
A．2009
B．-2009
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）=x³+2bx²+cx+1在区间[-1，2]上是减函数，那么2b+c（ ）
A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最小值

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，则函数y=f（1-x）的大致图象（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，一个质点从原点出发，在x轴、y轴的平行方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，2）→…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第
2009秒时，这个质点所处位置的坐标是（ ）

A．（14，44）
B．（15，44）
C．（44，14）
D．（44，15）

二、填空题

13. 难度：中等

曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为    ﹒

14. 难度：中等

在△ABC中，，则△ABC外接圆半径R为    ﹒

15. 难度：中等

已知平面向量，，满足：⊥，•=-2，||=2，若存在实数λ使得=+λ，则λ的值为    ．

16. 难度：中等

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．
（1）给出下列两个函数：①f（x）=x+1；②f（x）=x²，其中是“科比函数”的函数序号是    ．
（2）若函数是“科比函数”，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（ p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n＜．

18. 难度：中等

已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin²的最大值与最小值．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内．
（1）求实数b的取值范围；
（2）若函数F（x）=log_bf（x）在区间（-1-c，1-c）上具有单调性，求实数c的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

21. 难度：中等

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且•
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M．
（1）已知，求λ₁+λ₂的值
（2）求||•||的最小值．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

23. 难度：中等

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x²+y²=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

24. 难度：中等

设f（x）=x²+px+q（p，q∈R），证明：
（1）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于；
（2）若|p|+|q|＜1，则f（x）=0的两个根的绝对值都小于1．