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高中数学试题
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对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a<b),使当x∈[a,b]...
对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a<b),使当x∈[a,b]时,f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”.
(1)给出下列两个函数:①f(x)=x+1;②f(x)=x
2
,其中是“科比函数”的函数序号是
.
(2)若函数
是“科比函数”,则实数k的取值范围是
.
(1)根据定义域求出值域,然后寻找其定义域内存在两个实数a,b(a<b),使当x∈[a,b]时,f(x)的值域也是[a,b]的a与b的值,即可判定. (2)根据题意可得到:,即方程k+=x有两个不相等的实数根,分别画出左右两边函数:y=和y=x-k的图象,结合图象法可得答案. 【解析】 (1)①f(x)=x+1当x∈[a,b]时,f(x)的值域是[a+1,b+1],找不到满足条件的a与b,根据定义可知f(x)=x+1不是“科比函数” ②f(x)=x2,当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[0,1],根据定义可知f(x)=x+1是“科比函数” 故答案为:② (2)∵函数f(x)=k+是“科比函数”,且是增函数, ∴ 此式表明:方程k+=x有两个不相等的实数根, 即方程 =x-k有两个不相等的实数根, 分别画出左右两边函数:y=和y=x-k的图象, 当直线y=x-k与曲线y=相切时, =x-k有唯一解,解得k=-; 当直线y=x-k与曲线上的点(2,0)时, 解得k=-2; 结合图象可得:当两个函数的图象有两个不同的交点时, 实数k的取值范围是(-,-2]. 故答案为:(-,-2].
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考点分析:
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,
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