Question

选修4-1：几何证明选讲．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

Answer

（1）连接OE，根据已知中Rt△ABC中，∠ACB=90°，结合切线的性质，我们可证OE∥BC，进而可得△BDF为等腰三角形，进而得到答案．
（2）由（1）中结论，我们易证△AOE∽△ABC，由BC=6，AD=4，我们可以根据相似三角形的性质，构造出关于圆半径r的方程，解方程求出圆的半径，进而可以求出⊙O的面积．
证明：（1）连接OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF．（5分）
【解析】
（2）设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴，即，
∴r2-r-12=0，解之得r=4，或r=-3（舍）．
∴S=πr2=16π．（5分）