Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（ p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n＜．

Answer

（1）利用sn+1-sn=an+1求出an的递推公式，进而求解．
（2）将（1）中的结论代入bn=，求出bn，进而求出bnbn+2，利用列项法求出Tn，即可证明不等式．
【解析】
（Ⅰ）由题设知（p-1）a1=p2-a1，解得a1=p．（2分）
∵（ p-1）Sn=p2-an，
∴（ p-1）Sn+1=p2-an+1，
两式作差得（p-1）（Sn+1-Sn）=an-an+1．
∴，（4分）
∴数列{an}是首项为p，公比为的等比数列．
∴．（6分）
（Ⅱ）∵（8分），
∴（10分），
∴Tn=b1b3+b2b4+b3b5++bnbn+2
=
=＜（12分）．