2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ）
A．2.7
B．-2.7
C．3
D．-0.3

2. 难度：中等

设集合，，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＜0，或1＜x＜3}
B．{x|x＞3}
C．{x|-1＜x＜0，或1＜x＜3}
D．{x|0＜x＜1}

3. 难度：中等

已知sinα=sinβ，则α与β的关系是（ ）
A．α=β或α=π-β
B．α=2kπ+β，k∈Z
C．α=（2k+1）π-β，k∈Z
D．α=kπ+（-1）^kβ，k∈Z

4. 难度：中等

下列函数中在区间上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若（sin50°）^x-（tan50°）^x≤（sin50°）^-y-（tan50°）^-y则（ ）
A．x+y≥0
B．x-y≥0
C．x+y≤0
D．x-y≤0

6. 难度：中等

函数f（x）=ln|x-1|-x+3的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

记O为坐标原点，已知向量，，又有点C，满足，则∠ABC的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知k∈Z，，，，则△ABC是直角三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设S=x²+2xy+2y²+2x+1，其中x∈R，y∈R，则S的最小值为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．0

10. 难度：中等

点Q在x轴上，若存在过Q的直线交函数y=2^x的图象于A，B两点，满足，则称点Q为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．x轴上仅有有限个点是“Ω点”
B．x轴上所有的点都是“Ω点”
C．x轴上所有的点都不是“Ω点”
D．x轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”

二、填空题

11. 难度：中等

同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是    ．

12. 难度：中等

如图执行右面的程序框图，那么输出的S值为    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=3^[sinx]的值域是    ．（其中[x]表示不超过实数x的最大整数）

14. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）对任意x∈R都满足条件f（x）+f（4-x）=0与f（x+2）-f（x-2）=0，则对函数y=f（x），
下列结论中必定正确的是    ．（填上所有正确结论的序号）
①y=f（x）是奇函数；                ②y=f（x）是偶函数；
③y=f（x）是周期函数；              ④y=f（x）的图象是轴对称的．

15. 难度：中等

若n为整数，关于x的方程（x-2011）（x-n）²⁰¹¹+1=0有整数根，则n=    ．

16. 难度：中等

y=f（x）是定义域为R的函数，g（x）=f（x+1）+f（5-x），若函数y=g（x）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为    ．

17. 难度：中等

求值：sin6°+sin78°+sin222°+sin294°=．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的值域；
（2）若x=x为f（x）的一个零点，求f（2x）的值．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bx-3，对于给定的实数b，f（x）在区间[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），记g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）的解析式；
（2）问b为何值时，g（b）有最小值？并求出g（b）的最小值．

20. 难度：中等

定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：
①存在常数a（0＜a＜1），使得f（a）=1；②对任意实数m，当x∈R⁺时，有f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：对于任意正数x，y，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在正实数集上单调递减；
（3）若不等式f（log_a²（4-x）+2）-f（log_a（4-x）⁸）≤3恒成立，求实数a的取值范围．